Giả sử X , Y {\displaystyle X,Y} là các biến ngẫu nhiên với E [ X ] < E [ Y ] < ∞ {\displaystyle \mathrm {E} [X]<\mathrm {E} [Y]<\infty } và X ≤ s t Y {\displaystyle X\leq _{st}Y} (tức là X {\displaystyle X} nhỏ hơn Y {\displaystyle Y} theo thứ tự ngẫu nhiên thông thường). Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm, liên tục tuyệt đối Z {\displaystyle Z} có hàm mật độ xác suất

f Z ( x ) = Pr ( Y > x ) − Pr ( X > x ) E [ Y ] − E [ X ] , x ≥ 0. {\displaystyle f_{Z}(x)={\frac {\Pr(Y>x)-\Pr(X>x)}{{\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}}\,,\qquad x\geq 0.}

Đặt g {\displaystyle g} là một hàm khả vi và đo được sao cho E [ g ( X ) ] , E [ g ( Y ) ] < ∞ {\displaystyle \mathrm {E} [g(X)],\mathrm {E} [g(Y)]<\infty } , và đạo hàm của nó đo được, khả tích Riemann trên đoạn [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} với mọi y ≥ x ≥ 0 {\displaystyle y\geq x\geq 0} . Khi đó E [ g ′ ( Z ) ] {\displaystyle \mathrm {E} [g'(Z)]} hữu hạn và[4]

E [ g ( Y ) ] − E [ g ( X ) ] = E [ g ′ ( Z ) ] [ E ( Y ) − E ( X ) ] . {\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}